怎么样求矩形对角线的长度 应该怎么做?

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责任编辑:王嘉善
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在本文中:使用长和宽使用面积和周长使用面积和边长的相对关系

对角线是连接矩形的一个角及其对角的直线段。[1]一个矩形有两条对角线,它们长度相等。[2]如果知道矩形各边的边长,你可以使用勾股定理轻易地算出对角线的长度,因为对角线将矩形分成了两个直角三角形。如果你不知道边长,但知道面积和周长,或边长之间的关系等其他信息,你可以先计算出矩形的长和宽,然后再用勾股定理算出对角线的长度。

1使用长和宽

以Find the Measurement of the Diagonal Inside a Rectangle Step 1为标题的图片

1列出勾股定理的公式。该公式是a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}},其中a{\displaystyle a}b{\displaystyle b}是直角三角形直角边的边长,而c{\displaystyle c}是直角三角形斜边的边长。[3]

由于对角线将矩形切成了两个完全一样的直角三角形,所以你可以使用勾股定理。[4]矩形的长和宽是三角形的直角边;对角线是三角形的斜边。

以Find the Measurement of the Diagonal Inside a Rectangle Step 2为标题的图片

2将长和宽代入到公式中。长和宽应该是已知条件,又或者你可以量出它们的长度。确保你用长和宽代入的是a{\displaystyle a}b{\displaystyle b}

例如,如果矩形的宽是3 cm,而长是4 cm,代入公式后得到如下等式:32+42=c2{\displaystyle 3^{2}+4^{2}=c^{2}}

以Find the Measurement of the Diagonal Inside a Rectangle Step 3为标题的图片

3算出长和宽的平方,然后相加求和。记住,一个数的平方等于用这个数乘以自己。

例如:

32+42=c2{\displaystyle 3^{2}+4^{2}=c^{2}}

9+16=c2{\displaystyle 9+16=c^{2}}

25=c2{\displaystyle 25=c^{2}}

以Find the Measurement of the Diagonal Inside a Rectangle Step 4为标题的图片

4将等式两边开平方。最简单的计算平方根的方法是使用计算器。如果你没有科学计算器,可以使用在线计算器。[5]这样可以算出c{\displaystyle c}的值,即三角形的斜边,也就是矩形对角线的长度。

例如:

25=c2{\displaystyle 25=c^{2}}

25=c2{\displaystyle {\sqrt {25}}={\sqrt {c^{2}}}}

5=c{\displaystyle 5=c}

因此,宽为3 cm,而长为4 cm的矩形,其对角线的长度是5 cm。

2使用面积和周长

以Find the Measurement of the Diagonal Inside a Rectangle Step 5为标题的图片

1列出矩形的面积公式。该公式是A=lw{\displaystyle A=lw},其中A{\displaystyle A}为矩形的面积,l{\displaystyle l}为矩形的长,而w{\displaystyle w}为矩形的宽。[6]

以Find the Measurement of the Diagonal Inside a Rectangle Step 6为标题的图片

2将矩形的面积代入到公式中。确保你代入的是变量A{\displaystyle A}

例如,如果矩形的面积是35平方厘米,则代入后得到如下等式:35=lw{\displaystyle 35=lw}

以Find the Measurement of the Diagonal Inside a Rectangle Step 7为标题的图片

3变换等式,使之变成w{\displaystyle w}的表达式。等式两边都除以l{\displaystyle l}。将这个表达式放到一边。稍后你会将它代入周长公式。

例如:

35=lw{\displaystyle 35=lw}

35l=w{\displaystyle {\frac {35}{l}}=w}

以Find the Measurement of the Diagonal Inside a Rectangle Step 8为标题的图片

4列出矩形的周长公式。该公式是P=2(w+l){\displaystyle P=2(w+l)},其中w{\displaystyle w}为矩形的宽,而l{\displaystyle l}为矩形的长。[7]

以Find the Measurement of the Diagonal Inside a Rectangle Step 9为标题的图片

5将周长的值代入到公式中。确保你代入的是变量P{\displaystyle P}

例如,如果矩形的周长是24厘米,则代入后得到如下等式:24=2(w+l){\displaystyle 24=2(w+l)}

以Find the Measurement of the Diagonal Inside a Rectangle Step 10为标题的图片

6等式两边都除以2。这样就算出了w+l{\displaystyle w+l}的值。

例如:

24=2(w+l){\displaystyle 24=2(w+l)}

242=2(w+l)2{\displaystyle {\frac {24}{2}}={\frac {2(w+l)}{2}}}

12=w+l{\displaystyle 12=w+l}

以Find the Measurement of the Diagonal Inside a Rectangle Step 11为标题的图片

7w{\displaystyle w}的表达式代入到等式中。使用你变换面积公式得到的表达式。

例如,如果使用你变换而得的表达式35l=w{\displaystyle {\frac {35}{l}}=w},把它代入周长公式中的w{\displaystyle w}

12=w+l{\displaystyle 12=w+l}

12=35l+l{\displaystyle 12={\frac {35}{l}}+l}

以Find the Measurement of the Diagonal Inside a Rectangle Step 12为标题的图片

8去掉等式中的分母。等式两边都乘以l{\displaystyle l}

例如:

12=35l+l{\displaystyle 12={\frac {35}{l}}+l}

12×l=(35l×l)+(l×l){\displaystyle 12\times l=({\frac {35}{l}}\times l)+(l\times l)}

12l=35+l2{\displaystyle 12l=35+l^{2}}

以Find the Measurement of the Diagonal Inside a Rectangle Step 13为标题的图片

9使等式一边等于0。等式两边都减去一次项。

例如:

12l=35+l2{\displaystyle 12l=35+l^{2}}

12l?12l=35+l2?12l{\displaystyle 12l-12l=35+l^{2}-12l}

0=35+l2?12l{\displaystyle 0=35+l^{2}-12l}

以Find the Measurement of the Diagonal Inside a Rectangle Step 14为标题的图片

10按项次对等式重新排序。这意味着带指数的项排第一个,然后是带变量的项,最后是常量。重新排序时,请注意保留正确的正、负符号。你应该注意到了,这个等式现在变成了一个二次方程。

例如,0=35+l2?12l{\displaystyle 0=35+l^{2}-12l}变成了0=l2?12l+35{\displaystyle 0=l^{2}-12l+35}

以Find the Measurement of the Diagonal Inside a Rectangle Step 15为标题的图片

11将二次方程因式分解。关于如何进行此步骤的完整说明,请阅读解二次方程。

例如,方程0=l2?12l+35{\displaystyle 0=l^{2}-12l+35}可因式分解成0=(l?7)(l?5){\displaystyle 0=(l-7)(l-5)}

以Find the Measurement of the Diagonal Inside a Rectangle Step 16为标题的图片

12l{\displaystyle l}的值。令各项等于零,求出变量。你会得到方程的两个解,或两个根。由于你面对的是一个矩形,所以得到的两个根是矩形的宽和长。

例如:

0=(l?7){\displaystyle 0=(l-7)}

7=l{\displaystyle 7=l}

0=(l?5){\displaystyle 0=(l-5)}

5=l{\displaystyle 5=l}

因此,矩形的长和宽分别为7 cm和5 cm。

以Find the Measurement of the Diagonal Inside a Rectangle Step 17为标题的图片

13列出勾股定理的公式。该公式是a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}},其中a{\displaystyle a}b{\displaystyle b}是直角三角形直角边的边长,而c{\displaystyle c}是直角三角形斜边的边长。[8]

由于对角线将矩形切成了两个完全一样的直角三角形,所以你可以使用勾股定理。[9]矩形的宽和长是三角形的直角边;对角线是三角形的斜边。

以Find the Measurement of the Diagonal Inside a Rectangle Step 18为标题的图片

14将宽和长代入到公式中。此时,长可以随意代入到a或b中,将宽代入另一个即可。

例如,如果你算出矩形的宽和长为5 cm和7 cm,代入后得到如下等式:52+72=c2{\displaystyle 5^{2}+7^{2}=c^{2}}

以Find the Measurement of the Diagonal Inside a Rectangle Step 19为标题的图片

15算出宽和长的平方,然后相加求和。记住,一个数的平方等于用这个数乘以自己。

例如:

52+72=c2{\displaystyle 5^{2}+7^{2}=c^{2}}

25+49=c2{\displaystyle 25+49=c^{2}}

74=c2{\displaystyle 74=c^{2}}

以Find the Measurement of the Diagonal Inside a Rectangle Step 20为标题的图片

16将等式两边开平方。最简单的计算平方根的方法是使用计算器。如果你没有科学计算器,可以使用在线计算器。[10]这样可以算出c{\displaystyle c}的值,即三角形的斜边,也就是矩形对角线的长度。

例如:

74=c2{\displaystyle 74=c^{2}}

74=c2{\displaystyle {\sqrt {74}}={\sqrt {c^{2}}}}

8.6024=c{\displaystyle 8.6024=c}

因此,面积为35cm2{\displaystyle 35cm^{2}}而周长为24 cm的矩形,其对角线长度约等于8.6 cm。

3使用面积和边长的相对关系

以Find the Measurement of the Diagonal Inside a Rectangle Step 21为标题的图片

1写下能够说明两条边边长之间关系的等式。[11]你可以将之写成长(l{\displaystyle l})或宽(w{\displaystyle w})的表达式。将这个等式放到一边。稍后你会将它代入面积公式。

例如,如果已知矩形的宽比矩形的长要长2 cm,你可以列出w{\displaystyle w}的表达式:w=l+2{\displaystyle w=l+2}

以Find the Measurement of the Diagonal Inside a Rectangle Step 22为标题的图片

2列出矩形的面积公式。该公式是A=lw{\displaystyle A=lw},其中A{\displaystyle A}为矩形的面积,l{\displaystyle l}为矩形的长,而w{\displaystyle w}为矩形的宽。[12]

如果知道矩形的周长,你也可以使用这种方法,不过列出的应该是周长公式,而非面积公式。矩形的周长公式是P=2(w+l){\displaystyle P=2(w+l)},其中w{\displaystyle w}为矩形的宽,而l{\displaystyle l}为矩形的长。[13]

以Find the Measurement of the Diagonal Inside a Rectangle Step 23为标题的图片

3将矩形的面积代入到公式中。确保你代入的是变量A{\displaystyle A}

例如,如果矩形的面积是35平方厘米,则代入后得到如下等式:35=lw{\displaystyle 35=lw}

以Find the Measurement of the Diagonal Inside a Rectangle Step 24为标题的图片

4将长或宽的关系表达式代入公式中。由于你面对的是一个矩形,所以求l{\displaystyle l}w{\displaystyle w}变量的值都可以。

例如,如果你知道w=l+2{\displaystyle w=l+2},可以将这个表达式代入面积公式中的w{\displaystyle w}

35=lw{\displaystyle 35=lw}

35=l(l+2){\displaystyle 35=l(l+2)}

以Find the Measurement of the Diagonal Inside a Rectangle Step 25为标题的图片

5列出二次方程。用括号前的系数乘以括号内的各项,然后使方程的一边等于0。

例如:

35=l(l+2){\displaystyle 35=l(l+2)}

35=l2+2l{\displaystyle 35=l^{2}+2l}

0=l2+2l?35{\displaystyle 0=l^{2}+2l-35}

以Find the Measurement of the Diagonal Inside a Rectangle Step 26为标题的图片

6将二次方程因式分解。关于如何进行此步骤的完整说明,请阅读解二次方程。

例如,方程0=l2+2l?35{\displaystyle 0=l^{2}+2l-35}可因式分解成0=(l+7)(l?5){\displaystyle 0=(l+7)(l-5)}

以Find the Measurement of the Diagonal Inside a Rectangle Step 27为标题的图片

7l{\displaystyle l}的值。令各项等于零,求出变量。你会求出方程的两个解,或两个根。

例如:

0=(l+7){\displaystyle 0=(l+7)}

?7=l{\displaystyle -7=l}

0=(l?5){\displaystyle 0=(l-5)}

5=l{\displaystyle 5=l}

在本例中,你会得到一个负数根。由于矩形的长不可能为负数,所以长必定为5 cm。

以Find the Measurement of the Diagonal Inside a Rectangle Step 28为标题的图片

8将长或宽的值代入到关系表达式中。这样就算出了矩形另一条边的边长。

例如,如果你知道矩形的长为5 cm,且边长之间的关系为w=l+2{\displaystyle w=l+2},可以将长的值5代入到表达式中:

w=l+2{\displaystyle w=l+2}

w=5+2{\displaystyle w=5+2}

w=7{\displaystyle w=7}

以Find the Measurement of the Diagonal Inside a Rectangle Step 29为标题的图片

9列出勾股定理的公式。该公式是a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}},其中a{\displaystyle a}b{\displaystyle b}是直角三角形直角边的边长,而c{\displaystyle c}是直角三角形斜边的边长。[14]

由于对角线将矩形切成了两个完全一样的直角三角形,所以你可以使用勾股定理。[15]矩形的宽和长是三角形的直角边;对角线是三角形的斜边。

以Find the Measurement of the Diagonal Inside a Rectangle Step 30为标题的图片

10将宽和长代入到公式中。此时,长可以随意代入到a或b中,将宽代入另一个即可。

例如,如果你算出矩形的宽和长为5 cm和7 cm,代入后得到如下等式:52+72=c2{\displaystyle 5^{2}+7^{2}=c^{2}}

以Find the Measurement of the Diagonal Inside a Rectangle Step 31为标题的图片

11算出宽和长的平方,然后相加求和。记住,一个数的平方等于用这个数乘以自己。

例如:

52+72=c2{\displaystyle 5^{2}+7^{2}=c^{2}}

25+49=c2{\displaystyle 25+49=c^{2}}

74=c2{\displaystyle 74=c^{2}}

以Find the Measurement of the Diagonal Inside a Rectangle Step 32为标题的图片

12将等式两边开平方。最简单的计算平方根的方法是使用计算器。如果你没有科学计算器,可以使用在线计算器。[16]这样可以算出c{\displaystyle c}的值,即三角形的斜边,也就是矩形对角线的长度。

例如:

74=c2{\displaystyle 74=c^{2}}

74=c2{\displaystyle {\sqrt {74}}={\sqrt {c^{2}}}}

8.6024=c{\displaystyle 8.6024=c}

因此,宽比长要长2 cm,且面积为35cm2{\displaystyle 35cm^{2}}的矩形,其对角线的长度约等于8.6 cm。

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