怎么样解三次方程 应该怎么做?

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责任编辑:王嘉善
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把你方程的系数降幂排列,写成一个向量,利用roots命令即可。>> p=[1,-6,9

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用一元三次方程的万能公式——范盛金公式 三次方程新解法——盛金公式解题法 A new m

三次方程的最高次数为3次,它有3个解,或者说3个根,方程本身的形式是ax3+bx2+cx+d=0{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}。虽然三次方程令人望而生畏,并且确实很难解,但在具备大量基础知识的前提下,使用正确的方法,那么即使是最棘手的三次方程问题也可以得到解决。三次方程的解法有很多种,你可以尝试使用二次公式、求整数解或确定判别式方法。

1解不含常数项的三次方程

高中是不要求掌握三次方程的求根公式(卡丹公式)的。一般都是先用试根法得出一个根,再分解求出另2个

以Solve a Cubic Equation Step 1为标题的图片

1检查三次方程,看是否包含常数项d{\displaystyle d}三次方程的形式为ax3+bx2+cx+d=0{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}。但是,唯一必要的关键项是x3{\displaystyle x^{3}},这意味着三次方程中未必会出现其他项。[1]

答案为x1=-1,x2=x3=2解题思路:解一元三次方程,首先要得到一个解,这个解可以凭借经验或者

如果方程中包含常数项d{\displaystyle d},那么你必须使用另一种解法。

一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到,即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求

如果a=0{\displaystyle a=0},那么这个方程就不是三次方程。[2]

提起奥运冠军王皓,最让人印象深刻的就是他的外号----“千年老二”。2002年,王皓一举夺得埃及公开赛男单冠军,排名也跻身世界10强,一举成名。然而,2004年王皓首次参加雅典奥运会,年仅21岁的王皓在决赛中输给柳承敏,这对于一路高奏凯歌的他来说,无疑是一次重大打击;北京奥运会成了王皓乒坛生涯的巨大障碍,此后,他患上了“决赛恐惧症”。每次比赛,他都能凭借自己的实力打入决赛,可是一到决赛的时候,他又变得魂不守舍、神情恍惚。2005年全国十运会决赛他输给王励勤;2005年、2006年,王皓两次打入世乒赛决赛,2005年他在大比分3:2,第6局8:4领先的大好形势下被德国选手波尔翻盘;2006年又被

以Solve a Cubic Equation Step 2为标题的图片

2提取方程的公因式x{\displaystyle x}由于方程没有常数项,所以其中各项都包含变量x{\displaystyle x}。也就是说,可以提取方程的公因式x{\displaystyle x}来简化方程。这样做之后,可以将方程重写为x(ax2+bx+c){\displaystyle x(ax^{2}+bx+c)}[3]

搞得好像自己是中情局的,我就感到有些不解,彼此之间是什么关系居然能弄到这样的地步?是的,昨天不是刚刚过了什么七夕情人节吗?难道是自己感到了什么不对头了吗?唉,如今的人啊,彼此之间的信任程度已经被这一个又一个的节日消磨殆尽了吗?其实,你想怎么样呢?即使是你查到了对方的什么秘密,你又能怎么样呢?如果你是抱着一拍两散的态度,就大可不必这样费尽周折了!也许,你掌握了对方的隐私就觉得自己理直气壮了,可是你自己却也是伤痕累累,疲惫不堪了——不是说要谁忍气吞声而是说当你感到有了异样的话,就应该坦诚相见,不要搞这些小动作……一旦你弄巧成拙,被对方发现了那么你将以何言对答?一旦因此而伤了对方的心,更是得不偿失…

例如,假设我们一开始要解的方程是3x3?2x2+14x=0{\displaystyle 3x^{3}-2x^{2}+14x=0}

十六万的预算,对于自主车来说,已经是很不错的价位了。我们这里大部分都只是十万左右,甚至也只有七八就开回来了,所以你这十六万的预算完全可以买一款“高大上”的车了。我建议你可以考虑一下荣威6,别克君威,起亚k5,现代索纳塔……这些车型都是在十六左右。

提取方程的公因式x{\displaystyle x},得到x(3x2?2x+14)=0{\displaystyle x(3x^{2}-2x+14)=0}

谢邀!买个车,还有好多事七七八八的费用在后面呢!至少是裸车的10%~20%买了新车都要缴的费用:车款、购置税、交强险、车船使用税、验车上牌费。1、机动车统一*。车款就是本人历经千辛万苦和销售砍的车辆价格,这笔钱是买车中最大的一笔支出了(分期付款的单说)。2、购置税,这笔费用是买车后一定要交的,否则就无法验车上牌。这笔费用的收取有一个基本的计算方式:车价/11.7=购置税。3、交强险全称是“机动车交通事故责任强制保险”是国家为了保证第三者的利益而强制车主上的一项保险,收费标准是根据车型座位数及使用性质而定,对于老百姓的家庭自用6座以下车型只要记住每年交950元就行了。但需要提醒的是交强险只对别

以Solve a Cubic Equation Step 3为标题的图片

3如果可能,将得到的二次方程因式分解。很多情况下,提取公因式x{\displaystyle x}后得到的二次方程ax2+bx+c{\displaystyle ax^{2}+bx+c}都能被因式分解。例如,如果要解x3+5x2?14x=0{\displaystyle x^{3}+5x^{2}-14x=0},你可以:[4]

提取公因式x{\displaystyle x}x(x2+5x?14)=0{\displaystyle x(x^{2}+5x-14)=0}

将括号内的二次方程因式分解:x(x+7)(x?2)=0{\displaystyle x(x+7)(x-2)=0}

设各因式等于0{\displaystyle 0}。得到方程的解x=0,x=?7,x=2{\displaystyle x=0,x=-7,x=2}

以Solve a Cubic Equation Step 4为标题的图片

4如果无法手动对括号内的部分进行因式分解,请使用二次公式求解。你可以将a{\displaystyle a}b{\displaystyle b}c{\displaystyle c}的值代入二次公式(?b±b2?4ac2a{\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}})中,算出使二次方程等于0的x值。使用这种方法可以求出三次方程的两个解。[5]

示例中,将a{\displaystyle a}b{\displaystyle b}c{\displaystyle c}的值3{\displaystyle 3}?2{\displaystyle -2}14{\displaystyle 14}分别代入到以下二次公式:?b±b2?4ac2a{\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}?(?2)±((?2)2?4(3)(14)2(3){\displaystyle {\frac {-(-2)\pm {\sqrt {((-2)^{2}-4(3)(14)}}}{2(3)}}}2±4?(12)(14)6{\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {4-(12)(14)}}}{6}}}2±(4?1686{\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {(4-168}}}{6}}}2±?1646{\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {-164}}}{6}}}

解1:2+?1646{\displaystyle {\frac {2+{\sqrt {-164}}}{6}}}2+12.8i6{\displaystyle {\frac {2+12.8i}{6}}}

解2:2?12.8i6{\displaystyle {\frac {2-12.8i}{6}}}

以Solve a Cubic Equation Step 5为标题的图片

5零和二次方程的解就是三次方程的解。二次方程有两个解,而三次方程有三个。你已经求出其中的两个解,即你为括号中“二次”部分求出的解。对于可以用“因式分解”方法求解的方程,第三个解一定为0{\displaystyle 0}[6]

将方程分解为包含两个因式的形式x(ax2+bx+c)=0{\displaystyle x(ax^{2}+bx+c)=0},左边的因式是变量x{\displaystyle x},右边的因式是括号内的二次方程。如果任一因式等于0{\displaystyle 0},则整个方程等于0{\displaystyle 0}

因此,使括号内的二次因式等于0{\displaystyle 0}的两个解是三次方程的解,而使左边因式等于0{\displaystyle 0}0{\displaystyle 0}本身,也是三次方程的解。

2使用因数表求整数解

以Solve a Cubic Equation Step 6为标题的图片

1确保三次方程有一个d{\displaystyle d}值不等于零的常数项。如果形式为ax3+bx2+cx+d=0{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}的方程拥有一个不等于零的d{\displaystyle d}值,就无法将它因式分解为二次方程。但是不用担心,你还可以使用其他方法,比如下文描述的方法。[7]

以方程2x3+9x2+13x=?6{\displaystyle 2x^{3}+9x^{2}+13x=-6}为例。这个方程中,要让等号的右边等于0{\displaystyle 0},你需要两边都加6{\displaystyle 6}

得到新的方程2x3+9x2+13x+6=0{\displaystyle 2x^{3}+9x^{2}+13x+6=0}。由于d=6{\displaystyle d=6},你无法使用二次方程方法。

以Solve a Cubic Equation Step 7为标题的图片

2找出a{\displaystyle a}d{\displaystyle d}的因数。要解三次方程,我们需要先关注x3{\displaystyle x^{3}}项的系数a{\displaystyle a}以及方程最后的常数项d{\displaystyle d},找出它们各自的因数。记住,如果两个数字相乘得到另一个数,那么这两个数就是乘积的因数。[8]

例如,由于你可以用6×1{\displaystyle 6\times 1}2×3{\displaystyle 2\times 3}得到6,所以12366的因数。

例题中,a=2{\displaystyle a=2},而d=6{\displaystyle d=6}2的因数是126的因数是1236

以Solve a Cubic Equation Step 8为标题的图片

3a{\displaystyle a}的因数除以d{\displaystyle d}的因数。a{\displaystyle a}的各因数除以d{\displaystyle d}的各因数所得的值罗列出来。这样做通常会得到许多分数和几个整数。三次方程的整数解要么是其中的一个整数,要么是其中一个整数的相反数。[9]

例题中,用a{\displaystyle a}的因数12除以d{\displaystyle d}的因数1236,得到:1{\displaystyle 1}12{\displaystyle {\frac {1}{2}}}13{\displaystyle {\frac {1}{3}}}16{\displaystyle {\frac {1}{6}}}2{\displaystyle 2}23{\displaystyle {\frac {2}{3}}}。然后,我们将各数字的相反数加入进去,使之更加完整:1{\displaystyle 1}?1{\displaystyle -1}12{\displaystyle {\frac {1}{2}}}?12{\displaystyle -{\frac {1}{2}}}13{\displaystyle {\frac {1}{3}}}?13{\displaystyle -{\frac {1}{3}}}16{\displaystyle {\frac {1}{6}}}?16{\displaystyle -{\frac {1}{6}}}2{\displaystyle 2}?2{\displaystyle -2}23{\displaystyle {\frac {2}{3}}}?23{\displaystyle -{\frac {2}{3}}}。三次方程的整数解就在其中。

以Solve a Cubic Equation Step 9为标题的图片

4手动代入整数,这种方法较为简单,但可能会耗费较长时间。得到相除的结果后,你可以迅速将整数手动代入,看哪些能让三次方程等于0{\displaystyle 0},进而求出方程的解。例如,如果将1{\displaystyle 1}代入方程,可以得到:[10]

2(1)3+9(1)2+13(1)+6{\displaystyle 2(1)^{3}+9(1)^{2}+13(1)+6},即2+9+13+6{\displaystyle 2+9+13+6},结果不等于0{\displaystyle 0}。因此,使用得到的下一个值。

如果将?1{\displaystyle -1}代入方程,得到(?2)+9+(?13)+6{\displaystyle (-2)+9+(-13)+6},结果等于0{\displaystyle 0}。这意味着?1{\displaystyle -1}是方程的一个整数解。

以Solve a Cubic Equation Step 10为标题的图片

5使用更复杂,但可能更快速的综合除法。如果你不想花时间一个一个地去代入所有值,可以尝试更快捷的方法,也就是所谓的综合除法。总的来说,你应该使用综合除法,用得到的整数值除以a{\displaystyle a}b{\displaystyle b}c{\displaystyle c}d{\displaystyle d}。如果得到余数0{\displaystyle 0},那么这个值就是三次方程的解。[11]

综合除法是一个复杂的主题,超出了本文论述的范围。以下的例子示范了如何用综合除法求三次方程的解:-1 | 2 9 13 6__| -2-7-6__| 2 7 6 0

由于得到的最终余数为0{\displaystyle 0},由此可知,?1{\displaystyle -1}是三次方程的一个整数解。

3使用判别式方法

以Solve a Cubic Equation Step 11为标题的图片

1写下a{\displaystyle a}b{\displaystyle b}c{\displaystyle c}d{\displaystyle d}的值。本方法会大量用到方程各项的系数。开始前,记下a{\displaystyle a}b{\displaystyle b}c{\displaystyle c}d{\displaystyle d}的值,这样之后就不会混淆。[12]

对于例题x3?3x2+3x?1{\displaystyle x^{3}-3x^{2}+3x-1},写下a=1{\displaystyle a=1}b=?3{\displaystyle b=-3}c=3{\displaystyle c=3}d=?1{\displaystyle d=-1}。注意,如果有x{\displaystyle x}变量前没有系数,这代表它的系数为1{\displaystyle 1}

以Solve a Cubic Equation Step 12为标题的图片

2使用正确的公式计算判别式零用判别式方法求三次方程的解会用到十分复杂的数学原理,但如果严格遵循方法流程,你会发现,它在解令其他方法束手无策的三次方程方面十分实用。首先,将适当的值代入到公式Δ0=b2?3ac{\displaystyle \Delta _{0}=b^{2}-3ac}中,求出第一个重要数值,即判别式零Δ0{\displaystyle \Delta _{0}}[13]

判别式是一个数字,可以为我们提供关于多项式根的信息。你可能已经知道二次判别式是(b2?4ac{\displaystyle b^{2}-4ac})。

例题中的计算过程如下:b2?3ac{\displaystyle b^{2}-3ac}(?3)2?3(1)(3){\displaystyle (-3)^{2}-3(1)(3)}9?3(1)(3){\displaystyle 9-3(1)(3)}9?9=0=Δ0{\displaystyle 9-9=0=\Delta _{0}}

以Solve a Cubic Equation Step 13为标题的图片

3然后,计算Δ1=2b3?9abc+27a2d{\displaystyle \Delta _{1}=2b^{3}-9abc+27a^{2}d}你需要的下一个重要数值是判别式1{\displaystyle 1},即Δ1{\displaystyle \Delta _{1}},它的计算过程会稍微复杂一点,但方法与Δ0{\displaystyle \Delta _{0}}基本相同。将适当的值代入到公式2b3?9abc+27a2d{\displaystyle 2b^{3}-9abc+27a^{2}d}中,得到Δ1{\displaystyle \Delta _{1}}的值。[14]

例题中的计算过程如下:2(?3)3?9(1)(?3)(3)+27(1)2(?1){\displaystyle 2(-3)^{3}-9(1)(-3)(3)+27(1)^{2}(-1)}2(?27)?9(?9)+27(?1){\displaystyle 2(-27)-9(-9)+27(-1)}?54+81?27{\displaystyle -54+81-27}81?81=0=Δ1{\displaystyle 81-81=0=\Delta _{1}}

以Solve a Cubic Equation Step 14为标题的图片

4计算: Δ=(Δ12?4Δ03)÷?27a2{\displaystyle \Delta =(\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})\div -27a^{2}}。然后,我们会使用Δ0{\displaystyle \Delta _{0}}Δ1{\displaystyle \Delta _{1}}的值计算三次方程的判别式。在三次方程中,如果判别式为正数,则方程有三个实数解。如果判别式等于零,则方程有一个或两个实数解,且有时两个实数解会相等。如果判别式为负数,则方程只有一个实数解。[15]

三次方程必定有至少一个实数解,因为其函数图形必定会与X轴相交至少一次。

例题中,由于Δ0{\displaystyle \Delta _{0}}Δ1{\displaystyle \Delta _{1}}都等于0{\displaystyle 0},所以Δ{\displaystyle \Delta }的计算相对简单。计算过程如下:(Δ12?4Δ03)÷(?27a2){\displaystyle (\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})\div (-27a^{2})}((0)2?4(0)3)÷(?27(1)2){\displaystyle ((0)^{2}-4(0)^{3})\div (-27(1)^{2})}0?0÷27{\displaystyle 0-0\div 27}0=Δ{\displaystyle 0=\Delta },所以方程有一个或两个解。

以Solve a Cubic Equation Step 15为标题的图片

5计算: C=3(Δ12?4Δ03+Δ1)÷2{\displaystyle C=^{3}{\sqrt {\left({\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}+\Delta _{1}\right)\div 2}}}。最后一个需要计算的重要数值是C{\displaystyle C}。它能帮助我们在最后求出三个根。按照正常计算过程,根据需要代入 Δ1{\displaystyle \Delta _{1}}Δ0{\displaystyle \Delta _{0}}

例题中,C{\displaystyle C}的计算过程如下:3(Δ12?4Δ03)+Δ1÷2{\displaystyle ^{3}{\sqrt {{\sqrt {(\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})+\Delta _{1}}}\div 2}}}3(02?4(0)3)+(0)÷2{\displaystyle ^{3}{\sqrt {{\sqrt {(0^{2}-4(0)^{3})+(0)}}\div 2}}}3(0?0)+0÷2{\displaystyle ^{3}{\sqrt {{\sqrt {(0-0)+0}}\div 2}}}0=C{\displaystyle 0=C}

以Solve a Cubic Equation Step 16为标题的图片

6使用变量计算三个根。三次方程的根或解可以使用公式?(b+unC+Δ0÷(unC))÷3a{\displaystyle -(b+u^{n}C+\Delta _{0}\div (u^{n}C))\div 3a}计算,其中u=(?1+?3)÷2{\displaystyle u=(-1+{\sqrt {-3}})\div 2},而n等于123。根据需要代入数值进行计算,其中涉及到大量的数*算,但你应该可以得到三个使方程成立的解。

你可以分别计算n等于123时公式的值,来求得例题的答案。这样得到的答案可能就是三次方程的解。你可以将答案代入到方程中,使之等于0的答案即为方程的正确解。

例如,将1代入到x3?3x2+3x?1{\displaystyle x^{3}-3x^{2}+3x-1}中,计算结果为0,所以1就是三次方程的一个解。

扩展阅读,根据您访问的内容系统为您准备了以下扩展内容,希望对您有帮助。

利用Excel电子表格如何解一元三次方程?

利用Excel电子表格解一元三次方程,可使用“单变量求解”是实现。

下面以X3+X2=36为例。

方法步骤如下:

1、在空白单元格输入求解公式=B3^3+B3^2。【其中B3是需要求的结果的目标单元格】

2、切换到数据选项卡,点击“模拟分析”>“单变量求解”。

3、目标单元格中输入求解方程式所在单元格B2,目标值为方程式结果36,然后可变单元格则需要选中求解结果所在单元格B3,点击确定即可。

4、返回EXCEl表格,发现一元三次方程求解完成。

如何解一元三次方程?

有求根公式。

一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的,用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。

一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到,即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型,即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式,下一步的工作就是求出开立方里面的内容,也就是用p和q表示A和B。方法如下:

(1)将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到

(2)x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))

(3)由于x=A^(1/3)+B^(1/3),所以(2)可化为

x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x,移项可得

(4)x^3-3(AB)^(1/3)x-(A+B)=0,和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较,可知

(5)-3(AB)^(1/3)=p,-(A+B)=q,化简得

(6)A+B=-q,AB=-(p/3)^3

(7)这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题,因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根,而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理,即

(8)y1+y2=-(b/a),y1*y2=c/a

(9)对比(6)和(8),可令A=y1,B=y2,q=b/a,-(p/3)^3=c/a

(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为

y1=-(b+(b^2-4ac)^(1/2))/(2a)

y2=-(b-(b^2-4ac)^(1/2))/(2a)

可化为

(11)y1=-(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)

y2=-(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)

将(9)中的A=y1,B=y2,q=b/a,-(p/3)^3=c/a代入(11)可得

(12)A=-(q/2)-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)

B=-(q/2)+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)

(13)将A,B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得

(14)x=(-(q/2)-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)+(-(q/2)+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)

式 (14)只是一元三方程的一个实根解,按韦达定理一元三次方程应该有三个根,不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根,另两个根就容易求出了。

为了方便看,我上传个pdf,里面用数学公式更好的表示出求根公式。追问😣😣

如何编程解一元三次方程

(1)取两个不同的点x1,x2,如果f(x1)和f(x2)符号相反,则(x1,x2)区间内必有一个根。如果f(x1)和f(x2)同符号,则应改变x1,x2,直到f(x1)和f(x2)异号为止。注意x1和x2的值不应差太大,以保证(x1,x2)区间内只有一根。

(2)连接(x1,f(x1))和(x2,f(x2))两点,此线交x轴于x,x的坐标可以用下式求出:x=(x1*f(x2)-x2*f(x1))/f(x2)-f(x1),

再从x求出f(x);

(3)若f(x)和f(x1)同符号,则根必在(x,x2)内,此时将x作为新的x1;如果f(x)和f(x2)同符号,则表示根在(x1,x),此时将x作为新的x2。

(4)重复步骤(2)和(3),知道|f(x)|<e,e是一个很小的数,例如10^-6;

程序如下:

#include<stdio.h>

#include<math.h>

float f(float x)

{

float y;

y=((x-5.0)*x+16.0)*x-80.0;

return y;

}

float xpoint(float x1,float x2)

{//求(x1,f(x1)和(x2,f(x2))连线与x轴的交点

float y;

y=(x1*f(x2)-x2*f(x1))/(f(x2)-f(x1));

return y;

}//xpoint函数

float root(float x1,float x2)

{

float x,y,y1;

y1=f(x1);

do

{

www.book1234.com true http://www.book1234.com/10/4336/108853.html report 65727 怎么样解三次方程应该怎么做?,探索这篇文章解不含常数项的三次方程使用因数表求整数解使用判别式方法相关文章参考三次方程的最高次数为3次,它有3个解,或者说3个根,方程本身的形式是ax3+bx2+cx+d=0{\displaystyleax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}。虽然...
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